Parciální derivace vyšších řádů a Taylorův rozvoj funkcí

Parciální derivace vyšších řádů.

Definice. Je-li \(U\subseteq \mathbb{R}^{n}\) otevřená množ ina, \(F:U\rightarrow \mathbb{R}^{m}\). Existujı́-li v každém bod ě množiny \(U\) všechny parciálnı́ derivace \(\partial F^{i}/\partial x_{j}\) a jsou-li derivace \[\frac{\partial F^{i}}{\partial x_{j}}:U\rightarrow \mathbb{R}\] na množině \(U\) spojitými funkcemi řı́káme, že funkce \(f\) je na množině \(U\) třı́dy \(C^{1}\) nebo že \(F\) je spojitě diferencovatelná funkce. Dále existujı́ -li parciálnı́ derivace druhého řádu \[\frac{\partial ^{2}F^{i}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}:=\frac{\partial }{% \partial x_{k}}\left( \frac{\partial F^{i}}{\partial x_{j}}\right)\] v každém bodě množiny \(U\) a každá funkce \(\frac{% \partial ^{2}F^{i}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}:U\rightarrow \mathbb{R}\) je spojitá na \(U\), pak řı́káme, že funkce \(f\) je tř ı́dy \(C^{2}\) na množině \(U\). Induktivně lze oběcně definovat parciálnı́ derivace \(k\)-tého řádu jako parci álnı́ derivace prvnı́ho řádu derivacı́ \(\left( k-1\right)\)-tého řádu. Obecně řekneme, že funkce \(F\) je třı́dy \(C^{k}\) na množině \(U\) nebo že \(F\) je \(k\)-kr át spojitě diferencovatelná na množině \(U\) jestliže jsou všechny parciálnı́ derivace řádu \(\leq k\) na mno žině \(U\) spojité. Funkce třı́dy \(C^{0}\) na \(U\) je jednodu še spojitou funkcı́ na \(U\). Je-li funkce \(F\) na množině \(U\) t řı́dy \(C^{k}\) pro každé \(k\geq 0\), potom řı́ká me, že \(F\) je třı́dy \(C^{\infty }\) na množině \(% U~\)nebo že je hladká nebo nekonečněkrát spojitě diferencovatelná.

Věta. Předpokládejme, že funkce \(f(x,y)\) je definovaná na otevřeném kruhu \(K\) obsahujícím bod \((a,b).\) Jsou-li pak funkce \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\) a\(\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\) spojitými funkcemi v každém bodě kruhu \(K\), potom \[\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(a,b)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(a,b).\]

Důkaz. Z otevřenosti \(K\) plyne existence \(\varepsilon>0\) tak, že \[S=\langle a-\varepsilon,a+\varepsilon\rangle\times\langle b-\varepsilon,b+\varepsilon\rangle\subset K.\] Nechť \((h,k)\in\langle -\varepsilon,\varepsilon\rangle\times\langle-\varepsilon,\varepsilon\rangle,\) \(\ h\neq 0,\ k\neq 0,\) pak je definován výraz: \[\Delta(h,k)=f(a+h,b+k)-f(a,b+k)-f(a+h,b)+f(a,b).\] Nechť \(\phi(s)=f(s,b+k)-f(s,b).\) Potom odtud plyne \(\phi\in C(\langle a,a+h\rangle )\) a existuje pro každé \(s\in(a,a+h)\) derivace \(\phi'(s).\) Tedy funkce \(\phi\) splňuje na intervalu \(\langle a,a+h\rangle\) předpoklady Lagrangeovy věty o střední hodnotě a tudíž existuje \(\theta\in(0,1)\) takové, že \[\phi(a+h)-\phi(a)=\Delta(h,k)=\phi'(a+\theta h)h.\] Pak máme: \[\Delta(h,k)=h\left (\frac{\partial f}{\partial x}(a+\theta h,b+k)-\frac{\partial f}{\partial x}(a+\theta h,b)\right ).\] Nyní položme \(\psi(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(a+\theta h,t),\) pak je \(\psi\in C(\langle b,b+k\rangle)\) a pro každé \(t\in(b,b+k)\) existuje derivace \(\psi'(t).\) Pak opět v důsledku Lagrangeovy věty o střední hodnotě existuje \(\theta'\in(0,1)\) tak, že \[\psi(b+k)-\psi(b)=\psi'(b+\theta' k)k.\] Pak dostáváme, že \[\frac{\partial f}{\partial x}(a+\theta h,b+\theta' k)-\frac{\partial f}{\partial x}(a+\theta h,b)=k\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a+\theta h,b+\theta' k).\] Neboť je druhá parciální derivace spojitá v bodě \((a,b),\) máme: \[\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a,b)=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\Delta(h,k)}{hk}=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{hk\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a+\theta h,b+\theta' k)}{hk}.\] Podobně lze veličinu \(\Delta(h,k)\) vyjádřit jako \[\Delta=\phi_1(b+k)-\phi_1(b),\] kde \(\phi_1(t)=f(a+h,t)-f(a,t).\) Potom lze analogicky ukázat, že \[\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\Delta(h,k)}{hk}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b).\]

Cvičení. Mějme dánu funkci předpisem: \[ f(x,y)= \begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, &\text{jestliže $x^2+y^2\neq 0$;}\\ 0, &\text{jestliže $x^2+y^2=0$.} \end{cases} \] Dokažte, že potom platí: \[ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)=1\neq -1=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0). \]

Taylorův polynom

Věta. (Taylorova věta). Nechť \(f:G\to \mathbb{R}\) je funkce definovaná na otevřené množině \(G\subset\mathbb{R}\) a je \(k+1\) krát diferencovatelnou funkcí na množině \(G.\) Potom, je-li \(x\in G,\) \(y\in G,\) pak existuje bod \(\xi\) ležící mezi body \(x\) a \(y\) tak, že \[f(y)=f(x)+(y-x)f'(x)+\cdots+\frac{(y-x)^{k}}{k!}f^{(k)}(x)+\frac{(y-x)^{k+1}}{(k+1)!}f^{(k+1)}(\xi).\]

Důkaz. Uvažujme na intervalu \(\langle x,y\rangle\) (pokud je \(y<x\), pak na intervalu \(\langle y,x\rangle\)) pomocnou funkci \(F\) definovanou předpisem: \[ \begin{split} F(t)&=f(y)-f(t)-(y-t)f'(t)-\cdots-\frac{(y-t)^{k}}{k!}f^{(k)}(t)\\ &\quad -\frac{(y-t)^{k+1}}{(k+1)!}\left[f(y)-f(x)-f'(x)(y-x)-\cdots-\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(y-x)^{k}\right]\frac{(k+1)!}{(y-x)^{k+1}}\,. \end{split} \] Funkce \(F\) je zřejmě spojitou funkcí na intervalu \(\langle x,y\rangle\) a je v každém bodě diferencovatelná, přičemž platí \(F(x)=F(y)=0.\) Díky Rolleově větě o střední hodnotě existuje potom bod \(\xi\in(x,y)\) takový, že \(F'(\xi)=0.\) To znamená, že \[\begin{split} 0&=F'(\xi)=-f'(\xi)+f'(\xi)-(y-\xi)f''(\xi)+(y-\xi)f''(\xi)-\frac{(y-\xi)^{2}}{2!}f'''(\xi)\\ &+\cdots-\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(y-\xi)^{k}\\ &+\frac{(y-\xi)^{k}}{k!}\left[f(y)-f(x)-f'(x)(y-x)-\cdots-\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(y-x)^{k}\right]\cdot\frac{(k+1)!}{(y-x)^{k+1}}\,. \end{split}\] Vydělením předchozí rovnosti výrazem \((y-\xi)^{k}(k+1)/(y-x)^{k+1}\) dostaneme: \[0=-\frac{f^{k+1}(\xi)}{(k+1)!}(y-x)^{k+1}+f(y)-f(x)-(y-x)f'(x)-\cdots-\frac{(y-x)^{k}}{k!}f^{(k)}(x).\] Odtud již snadno plyne dokazovaná rovnost. \(\Box\)

Nyní uvažujme funkci \(f:G\to\mathbb{R}\) kde \(G\subset\mathbb{R}^{n}\) je otevřenou a konvexní množinou a nechť funkce \(f\) má všechny parciální derivace až do řádu \(k+1\) spojité na \(G\). Nyní pro libovolné \(x\in G,\) \(y\in G,\) \(t\in\langle 0,1\rangle\) položme \(g(t)=f(x+t(y-x)).\) Pak \[\begin{split} g'(t)&=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x+t(y-x))\cdot(y_{i}-x_{i})\\ g''(t)&=\sum_{i,j=1}^{n}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(x+t(y-x))\cdot(y_{i}-x_{i})\cdot(y_{j}-x_{j})\\ &\cdots\\ g^{(k)}(t)&=\sum_{i_{1},\ldots,i_{k}=1}\frac{\partial^{k}f}{\partial x_{i_{1}}\ldots\partial x_{i_{k}}}(x+t(y-x))\cdot(y_{i_{1}}-x_{i_{1}})\cdots(y_{i_{k}}-x_{i_{k}})\\ g^{(k+1)}(t)&=\sum_{i_{1},\ldots,i_{k},i_{k+1}=1}\frac{\partial^{k+1}f}{\partial x_{i_{1}}\ldots\partial x_{i_{k}}\partial x_{i_{k+1}}}(x+t(y-x))\cdot(y_{i_{1}}-x_{i_{1}})\cdots(y_{i_{k}}-x_{i_{k}})(y_{i_{k+1}}-x_{i_{k+1}})\,. \end{split}\] Z věty [taylor_jednaprom] pak dostáváme: \[\label{eq:1} \begin{split} g(1)&=g(0)+g'(0)+\frac{1}{2!}g''(0)+\cdots+\\ &\quad +\frac{1}{k!}g^{(k)}(0)+\frac{1}{(k+1)!}g^{(k+1)}(\tau)\,, \end{split}\] kde \(0<\tau<1.\) Tedy platí následující Taylorova věta pro funkce \(n\) proměnných.

Věta. Nechť \(f:G\to\mathbb{R},\) kde \(G\subset\mathbb{R}^{n}\) je otevřenou množinou. Dále nechť \(f\in C^{(k+1)}(G,\mathbb{R}).\) Je-li \(x,y\in G\) a úsečka \([x,y]=\{x+t(y-x))\mid t\in\langle 0,1\rangle\}\) spojující body \(x\) a \(y\) je obsažena v množině \(G\), pak existuje bod \(\xi\in(x,y)=\{x+t(y-x)\mid t\in(0,1)\}\) tak, že \[\begin{split} f(y)&=f(x)+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)(y_{i}-x_{i})+\frac{1}{2!}\sum_{i,j=1}^{n}\frac{\partial^{2}f(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(y_{i}-x_{i})(y_{j}-x_{j})+\cdots+\\ &+\frac{1}{k!}\sum_{i_{1},\ldots,i_{k}=1}^{n}\frac{\partial^{k}f(x)}{\partial x_{i_{1}}\cdots\partial x_{i_{k}}}(y_{i_{1}}-x_{i_{1}})\cdots(y_{i_{k}}-x_{i_{k}})\\ &+\frac{1}{(k+1)!}\sum_{i_{1},\ldots,i_{k+1}=1}^{n}\frac{\partial^{k+1}f(\xi)}{\partial x_{i_{1}}\ldots\partial x_{i_{k+1}}}(y_{i_{1}}-x_{i_{1}})\cdots(y_{i_{k+1}}-x_{i_{k+1}})\,. \end{split}\]

Výpočet Taylorova polynomu provedem zde pomocí Pythonu.

Pdf verzi notebooku (česky) lze stáhnout zde.